Геометрична фигура призма. Свойства, видове, формули за обем и площ. Правилна триъгълна призма

Геометричните фигури в пространството са обект на изучаване на стереометрията, която се изучава от учениците в гимназията. Тази статия е посветена на съвършения многостен - призмата. Нека разгледаме по-подробно свойствата на призмата и да дадем формулите, които служат за количественото им описание.

Какво е призма?

Всеки знае как изглежда паралелепипед или куб. И двете фигури са призми. Класът на призмите обаче е много по-разнообразен. В геометрията тази фигура се дефинира по следния начин: призма е всеки многостен в пространството, който е образуван от две успоредни и еднакви многоъгълни страни и няколко паралелограма. Еднаквите успоредни страни на фигурата се наричат нейни основи (горна и долна). От друга страна, паралелограмите са страните на фигура, които свързват страните на основата една с друга.

Ако основата е представена с n-ъгълник, където n е цяло число, то той ще има 2+n лица, 2*n върха и 3*n ръба. Лицата и ръбовете принадлежат към един от двата вида: те са или странични лица, или основи. Върховете са еднакви и принадлежат на основата на призмата.

Видове фигури от изучавания клас

За да научим свойствата на призмата, трябва да изброим възможните видове на тази фигура:

• Изпъкнали и вдлъбнати. Разликата между тях е във формата на многоъгълната основа. Ако е вдлъбната, тя също е триизмерна фигура, и обратно.
• Прав и наклонен. Правата призма има страни, които са или правоъгълници, или квадрати. При наклонена форма страничните ръбове са или паралелограми от общ тип, или ромбове.
• Нередовни и редовни. За да бъде въпросната фигура правилна, тя трябва да е права и да има правилна основа. Пример за последното е равнинна фигура, например равностранен триъгълник или квадрат.

Призмата се нарича по следната класификация. Например гореспоменатият паралелепипед с прави ъгли или кубът се наричат прав четириъгълник от призмата. Удобно е да се изучават призмите поради високата им симетрия. Даваме конкретни математически формули за това свойство.

Площ на призма

Когато разглеждаме площта на една призма, имаме предвид общата площ на всички нейни стени. Най-лесният начин за представяне на тази стойност е да се направи свитък на фигурата, т.е. да се разложат всички лица в една равнина. На снимката по-долу са показани две призми за пример.

За произволна призма формулата за площта на нейния разклонител може да се запише в общ вид по следния начин:

S = 2*S_o + b*P_sr.

Нека обясним номенклатурата. Стойността S_o - е площта на една основа, b е дължината на един страничен ръб, P_sr - е перпендикулярът, перпендикулярен на страничните страни на призмата.

Записаната формула често се използва за определяне на площите на наклонени призми. В случая на регулярна призма изразът за S има определена форма:

S = n/2*a²*ctg(pi/n) + n*b*a .

Първият член е площта на двете основи на правилна призма, а вторият член е площта на страничните стени. Тук a е дължината на страната на правилен n-ъгълник. Имайте предвид, че дължината на страничен ръб b на правилна призма е също и нейната височина h, така че във формулата b може да се замени с h.

Как да изчислим обема?

Призмата е сравнително прост полиедър с висока симетрия. Следователно, за да определим обема му, разполагаме с една много проста формула. Той има следната форма:

V = S_o*h.

Изчисляването на площта и височината на основата може да бъде трудно, ако се разглежда наклонена неправилна фигура. Този проблем се решава чрез последователен геометричен анализ, като се използва информация за диаметралните ъгли между страничните паралелограми и основата.

Ако призмата е правилна, тогава формулата за V придобива съвсем конкретен вид:

V = n/4*a²*ctg(pi/n)*h.

Както виждаме, площта S и обемът V на една правилна призма се определят еднозначно, ако са известни двата ѝ линейни параметъра.

Правилна триъгълна призма

В края на статията разглеждаме свойствата на триъгълната призма на правилна. Той е образуван от пет страни, три от които са правоъгълници (квадрати), а две - равностранни триъгълници. Тази призма има шест върха и девет ръба. За тази призма формулите за обем и повърхност са записани по-долу:

S₃ = √3/2*a² + 3*h*a

V₃ = √3/4*a²*h.

В допълнение към тези свойства е полезно да се даде и формулата за апотемата на основата на фигурата, която е височината h_a на равностранен триъгълник:

h_a = √3/2*a.

Страните на призмата са равни правоъгълници. Дължините на диагоналите им d са равни:

d = √(a² + h²).

Познаването на геометричните свойства на триъгълната призма е от интерес не само за теорията, но и за практиката. Въпросът е, че тази фигура, изработена от оптично стъкло, се използва за изследване на спектъра на излъчване на телата.

Преминавайки през стъклена призма, светлината се разгражда на няколко съставни цвята в резултат на явлението дисперсия, което дава възможност да се изследва спектралният състав на електромагнитния поток.