Понятието за ъглово ускорение. Формули за кинематика и ротационна динамика. Пример за задача

Въртенето на телата е един от най-важните видове механично движение в техниката и природата. За разлика от линейното движение, то се описва със собствен набор от кинематични характеристики. Едно от тях е ъгловото ускорение. Нека опишем тази величина в статията.

Движение при въртене

Преди отколкото да говори за ъгловото ускорение и опишете вида на движението, за което то се отнася. Говорим за въртене, което представлява движение на тела по кръгови траектории. За да се осъществи ротация, трябва да са изпълнени определени условия:

• наличието на ос или точка на въртене;
• наличието на центростремителна сила, която би задържала тяло в кръгова орбита.

Примери за такъв тип движение са различни атракциони, например въртележки. В техниката въртенето се проявява в движението на колела и валове. В природата най-яркият пример за гравитационна сила е силата на въртене от този тип Въртене на планетите около собствената им ос и около Слънцето. Силите на междуатомно взаимодействие в твърдите тела и гравитационното взаимодействие играят ролята на центростремителна сила в горните примери.

кинематични характеристики на въртенето

Тези характеристики включват три величини: ъглово ускорение, ъглова скорост и ъгъл на завъртане. Нека обозначим с гръцките символи α, ω и θ съответно.

Тъй като едно тяло се движи по окръжност, удобно е да се изчисли ъгълът θ, на който то ще се завърти за дадено време. Този ъгъл се изразява в радиани (по-рядко в градуси). Тъй като окръжността има 2 × пи радиана, можем да напишем равенството, свързващо θ с дължината на дъгата L на въртене:

L = θ × r

където r е радиусът на въртене. Тази формула е лесна за извеждане, ако си припомним съответния израз за обиколката.

Ъгловата скорост ω, както и нейният линеен аналог, описва скоростта на въртене около оста, т.е. тя се определя съгласно следния израз:

ω¯ = d θ / d t

Стойността ω¯ е вектор. Тя е насочена по оста на въртене. Единицата за измерване е радиан за секунда (rad/s).

И накрая, ъгловото ускорение е физическа характеристика, която определя колко бързо се променя ω¯, което математически се записва по следния начин

α¯ = d ω¯ / d t

Векторът α¯ е ориентиран по посока на вектора на скоростта ω¯. По-долу е посочено, че ъгловото ускорение е по посока на вектора на силовия момент. Това се измерва в радиани за квадратна секунда (rad/s)²).

Момент и ускорение

Ако си припомним закона на Нютон, който свързва силата и линейното ускорение в едно равенство, и пренесем този закон към случая на въртене, можем да напишем следния израз

M¯ = I × α¯

Тук M¯ е моментът на силата, който е произведение от силата, която се стреми да развърти системата чрез лоста - разстоянието от точката на прилагане на силата до оста. Стойността I е аналогична на масата на тялото и се нарича инерционен момент. Тази формула се нарича уравнение на моментите. От него ъгловото ускорение може да се изчисли по следния начин:

α¯ = M¯/ I

Тъй като I е скалар, α¯ винаги е насочен по посока на ефективния момент на силата M¯. Посоката на M¯ се определя от правилото на дясната ръка или правилото на Буравер. M¯ и α¯ са перпендикулярни на равнината на въртене. Колкото по-голям е инерционният момент на едно тяло, толкова по-малко ъглово ускорение може да даде на системата фиксираният импулс M¯.

Кинематични уравнения

За да разберем колко важно е ъгловото ускорение при описанието на ротационното движение, нека запишем формулите, които свързват кинематичните величини, които разгледахме по-горе.

В случай на равномерно ускорено въртене се прилагат следните математически съотношения:

ω = α × t;

θ = α × t² / 2

Първата формула показва, че ъгловата скорост ще нараства с времето по линеен закон. Втората формула се използва за изчисляване на ъгъла, на който се завърта тялото за известно време t. графиката на функцията θ(t) е парабола. И в двата случая ъгловото ускорение е постоянно.

Ако използваме формулата за връзка между L и θ, дадена в началото на статията, можем да получим израз за α чрез линейното ускорение a:

α = a / r

Ако α е постоянно, линейното ускорение a. Ето защо за ротацията се използват ъглови характеристики, които за разлика от линейните характеристики не се променят с увеличаване или намаляване на r.

Пример за задача

Метален вал, въртящ се с 2 000 оборота в секунда, започва да се забавя и след 1 минута спира напълно. Изчисляване на ъгловото ускорение на процеса на забавяне на вала. Необходимо е също така да се изчисли броят на оборотите, които валът е направил, преди да спре.

Процесът на забавяне на въртенето се описва със следния израз

ω = ω₀ - α × t

Начална ъглова скорост ω₀ се определя чрез скоростта на въртене f, както следва

ω₀ = 2 × pi × f

Тъй като знаем времето за забавяне, получаваме стойността на ускорението α:

α = ω₀ / t = 2 × pi × f / t = 209,33 rad/s²

Числото трябва да се приема със знак минус, тъй като става въпрос за спиране на системата, а не за нейното ускоряване.

За да определим броя на оборотите, които валът ще направи по време на спиране, прилагаме израза:

θ = ω₀ × t - α × t² / 2 = 376 806 rad.

Получената стойност на ъгъла на завъртане θ в радиани просто се преобразува в броя на оборотите, които валът прави, преди да спре напълно, като се раздели на 2 × пи:

n = θ / (2 × pi) = 60 001 оборота.

Така получихме всички отговори на задачата: α = -209,33 rad/s², n = 60 001 завъртания.